§1 简洁是宗教

如果你们非得叫我教主，就叫我简洁教教主。

核心思想：一道题内含的代数难度是不变的。只要计算路径不是特别非常规，从哪条路走都有必须攻克的计算难关。尽量把体力和注意力留给那个地方，之前的路上能省就省。

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§1.1 拒绝人造括号和人造分式

§1.1.1 不使用点斜式 / 圆的标准方程

直接用直线的头和圆的头展开写整式，不要人造括号。

直线的头：已知斜率 $k = A/B$，则直线方程写作

$$By - Ax = \text{好算的点} (x_0, y_0) \text{ 代入后的值}$$

圆的头：已知圆心 $(d, e)$，则圆方程写作

$$x^2 + y^2 - 2dx - 2ey = \text{好算的点代入后的值}$$

这样，点 $(x, y)$ 对直线（或圆）的幂就是直接代入左端的值，语义清晰，好习惯减少错误。

§1.1.2 不使用分式版直线方程

两点式、垂直平分线、两直线垂直，直接写整式版：

$$\text{两点式：} (x - x_1)(y_2 - y_1) - (y - y_1)(x_2 - x_1) = 0$$ $$\text{垂直平分线：} 2(y_2 - y_1)y + 2(x_2 - x_1)x = y_2^2 - y_1^2 + x_2^2 - x_1^2$$ $$\text{两直线垂直：} (y_2 - y_1)(y_3 - y_1) + (x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = 0$$

:::tip 口诀 已知斜率是 $A \div B$ 时，直线的头一定是 $Bx - Ay$，后面带一个已知点代入得到常数。 :::

§1.1.3 不展开，目押系数

对于关于 $t$ 的多项式 $f(t) = g_1(t) + g_2(t) + \cdots$，如果各项结构已知，直接用眼睛看出每个系数，不要抄写展开再合并同类项。

你抄他的唯一功能就是抄错。

适用场景：当 $f(t)$ 是关于 $t$ 的二次多项式，各 $g_i$ 复杂但结构已知时，直接目押 $A_0, A_1, A_2$。

§1.1.4 赋值不展开

核心想法：如果要验证某个变量 $t_1 = t_2$，不需要解出显式表达式，只需验证两者满足相同的约束（二次方程），且约束的对应项系数成比例。

验证步骤：

1. 最高次项：直接目押二次项系数是否相等（或成比例）
2. 常数项：赋值 $t = 0$，直接读出常数项
3. 一次项：减去常数项再除以 $t$，继续赋值

:::note 注意 赋值时，尽量赋使约束中尽可能多项为零的值，避免展开。全过程没有展开复杂的 $g_i$。

此技术由 R.W.（数之谜 @RynW1988）发明。 :::

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例题

彩蛋：USAMO 2024 P5

题意（简述）：角条件使得三角形内部的钝角被两个底角平分，余角之和为 $90°$。

解题要点：

• 角条件使得正切值一个是 $t$，一个是 $1/t$；
• 要验证的是「相切」条件对 $t$ 的约束与其他条件对 $t$ 的约束等价；
• 使用赋值不展开：验证两个二次约束对应项系数成比例，没有显式解出 $t$。

:::caution 难度提示 如果这题没有思路，说明解析对你来说目前还不能用来做赛题。这是个合格线。 :::

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例题：CGMO 2023 P4

题意：四边形 $ABCD$ 内接于圆 $\omega$，对角线 $AC, BD$ 互相垂直交于 $E$。$F$ 在 $AD$ 上，延长 $FE$ 交 $\omega$ 于 $P$。在 $PE$ 上取 $Q$ 使 $PQ \cdot PF = PE$。过 $Q$ 作 $AD$ 的垂线交 $BC$ 于 $R$，求证：$RQ = RP$。

框架：相互垂直的弦，设 $E = (0,0)$，令 $AC \cdot BD = 1$（设守恒量）。

圆 $ABCD$ 方程（常见框架，可一笔写出）：

$$x^2 + y^2 - (c-a)x - (b+d)y + 1 = 0$$

其中 $A(-a,0), C(c,0), D(0,d), B(0,-b)$，$ac = bd = 1$。

结论验证：等腰用对称点翻译，验证约束与圆上的约束等价，使用赋值不展开。

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本节内容来自 R.W.（王一楠）公益课第二讲 §1，整理自讲义与课堂录音。