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§2 分阶段移轴

移轴现在已经不是个技巧，是个习惯。

核心思想：不同阶段，生成图形的「核心点」不同。每到一个新阶段，就把核心点移到原点，远离常数项。

§2.0 移轴是内禀的被动技​

移轴不是「技巧性便利」，而是解析的本质操作，原因如下：

  1. 生成图形的点重要性不同：不同阶段的核心点不同；
  2. 平几结论是平移不变量：距离、方向、共点/共线/共圆等结论在平移下保持；
  3. 代数上，无常数项的多项式显著简洁，并且有齐次化技巧（将 f(x,y)=0f(x,y)=0 化成 f(t)=0f(t)=0，t=y/xt = y/x）；
  4. 因此，你需要「分阶段移轴」，确保当前核心点始终是原点（大杀器）。

§2.1 移轴的操作好处与注意事项​

好处​

  • 打得一拳开，免得百拳来：只需移一次 Part2 相关坐标，比全程带着复杂常数项强得多；
  • 对称算一半：移轴到结论的对称中心后，结论从不对称恒等式变成两边对称的恒等式，只算一边，节约 50% 计算量和错误率。

:::tip 例子 验证 KPE=KQEK_{PE} = K_{QE}（某题），不移轴需验证繁琐非对称恒等式要算两边；
移轴到 EE 后，KPE=f(a,b,c,d)K_{PE} = f(a,b,c,d) 必然对 a/ca/c（b/db/d）对称，只算一边即可。 :::

注意事项​

  1. Part2 相关的才动，大多数不用动；
  2. Part2 参与运算的都要动，一定检查有没有少移一个；
  3. Part2 和 Part1 交互时，记得把坐标/方程移回来。

§2.2 原点版补充公式​

没有足够多的零，复杂公式根本没法用，所以默认要移轴。以下公式建议记住原点版：

§2.2.1 点到直线距离​

任意点版：h=Ax0+By0+CA2+B2,原点版（x0=y0=0）：h=CA2+B2\text{任意点版：} h = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \quad \text{原点版（}x_0=y_0=0\text{）：} h = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}

§2.2.2 点到直线垂足​

原点版：xF=−ACA2+B2,yF=−BCA2+B2\text{原点版：} x_F = \frac{-AC}{A^2+B^2}, \quad y_F = \frac{-BC}{A^2+B^2}

有了垂足，对称点 = 两倍垂足。

§2.2.3 角分线公式（A(0,0)A(0,0) 版）​

ABAB 和 ACAC 的角平分线 AI:y=txAI: y = tx，其中 tt 满足：

2t1−t2=k1+k21−k1k2\frac{2t}{1-t^2} = \frac{k_1 + k_2}{1 - k_1 k_2}

:::caution 强调 角分线公式非常好用，但几乎见不到别人用（可能纯几水平高的人直接化掉了角条件）。建议掌握。 :::

以上公式，移轴后的版本才能在考场上实战使用。

§2.3 其他补充公式​

§2.3.1 共形行列式​

四点共圆：

∣xi2+yi2xiyi1∣=0,i=1,2,3,4\begin{vmatrix} x_i^2+y_i^2 & x_i & y_i & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad i=1,2,3,4

过原点时，去掉常数列，变成 3×33\times3 行列式。

过任意三点的外接圆：

∣x2+y2xy1x12+y12x1y11x22+y22x2y21x32+y32x3y31∣=0\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0

按第一行展开，可直接目押圆的一次项系数 d,ed, e 和常数项 ff（by 数之谜 @cxy_MO）。

§2.3.2 点到直线的对称点​

P(x0,y0)P(x_0, y_0) 到直线 L:Ax+By+C=0L: Ax+By+C=0 的对称点：

x′=x0−2A⋅l(P),y′=y0−2B⋅l(P)x' = x_0 - 2A \cdot l(P), \quad y' = y_0 - 2B \cdot l(P)

其中 l(P)=Ax0+By0+CA2+B2l(P) = \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2} 是 PP 到 LL 的有向距离。

常用的是 P(0,0)P(0,0) 版（原点代入即可）。

§2.3.3 斜 BC 外心公式​

△ABC\triangle ABC 中，A(0,0)A(0,0)，B(2p,2b−1p)B(2p, 2b^{-1}p)，C(2q,−2c−1q)C(2q, -2c^{-1}q)，则外心 O=(X/f,Y/f)O = (X/f, Y/f) 满足：

X=(1+b2)cp+(1+c2)bq,Y=(1+b2)c2p−(1+c2)b2q,f=bc(b+c)X = (1+b^2)cp + (1+c^2)bq, \quad Y = (1+b^2)c^2p - (1+c^2)b^2q, \quad f = bc(b+c)

用途：不能把 BCBC 放平，要把一个更重要的点摆在 yy 轴上时（by 数之谜 @cxy_MO）。

§2.3.4 对轴上定点张角公式​

P(p,q)P(p,q)，M(−m,−1)M(-m,-1)，N(n,−1)N(n,-1)，则：

tan⁡∠MPN=AB,A=(q+1)(m+n),B=p2+q2+(m−n)p+2q+1−mn\tan \angle MPN = \frac{A}{B}, \quad A = (q+1)(m+n), \quad B = p^2+q^2+(m-n)p+2q+1-mn

:::note 实用场景 广泛用于验 P,Q,M,NP, Q, M, N 共圆，其中 M/NM/N 在横轴上。如果 P/QP/Q 对称生成，验张角关于 b/cb/c 对称即可，优于验共圆行列式。 :::

高考的特别提示​

:::info 几乎 100% 的高考解析压轴题，移轴都可以简化运算 原因推测：高考压轴题有固定的运算量要求，但代数内涵不能太难，所以总让生成图形的点带常数项。移轴一次，常数项消失，运算量立即减半。

如果你所在的地方允许移轴：几乎每道高考压轴题都可以用移轴简化。 :::

例题​

例：高考抛物线正三角形​

题意：抛物线 y2=2pxy^2 = 2px 上点 AA，l1l_1 过 AA 斜率为 k1k_1 与抛物线只有一个公共点，l2l_2 过 AA 斜率为 k2k_2 与抛物线交 B,CB, C。若 △ABC\triangle ABC 是正三角形，求 k1/k2k_1/k_2 的范围。

移轴至 A(0,0)A(0,0) 后，设 AB,ACAB, AC 过原点斜率为 t,st, s，利用正三角形条件得到旋转关系：

t=u+31−3u,s=u−31+3ut = \frac{u + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}u}, \quad s = \frac{u - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}u}

其中 u=k2u = k_2，最终化简得 f=v/u∈(−1,1/7)∖{0}f = v/u \in (-1, 1/7) \setminus \{0\}。

例：椭圆内心问题​

题意：椭圆 x2/2+y2=1x^2/2 + y^2 = 1，右焦点 FF，上顶点 MM。是否存在直线 ll 交椭圆于 P,QP, Q，使 FF 是 △MPQ\triangle MPQ 的内心？

移轴至 M(0,0)M(0,0) 后，原点 O(0,−1)O(0,-1)，F(1,−1)F(1,-1)，椭圆方程更新。利用内心条件（∠PMF\angle PMF），通过角分线公式和内心到各边等距，解出直线方程。

例题：IMO 2025 P2​

建系：A(0,0),B(−b,−1),C(c,−1)A(0,0), B(-b,-1), C(c,-1)（利用 BCBC 的对称中心）

计算步骤：

  1. M,NM, N 的坐标（AB,ACAB, AC 的垂直平分线与 BCBC 的交点）
  2. △PMN\triangle PMN 的垂心 HH（有理）
  3. E,FE, F 的坐标（圆斜式，有理）
  4. 移轴至 L(0,−2)L(0,-2)（圆 LEFLEF 悬浮，唯一已知点是 LL）
  5. 验证圆心到切线的距离等于半径

本节内容来自 R.W.（王一楠）公益课第二讲 §2，整理自讲义与课堂录音。