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§3 溢出设变量

你去超市买了四五样东西，有方的有圆的，你怎么处理？你肯定拿个购物篮。

核心思想：超出代数直觉的量，立即设为中间变量。多设一个变量，就多一个约束，多一条化简路。

§3.0 为什么需要中间变量？​

什么是代数直觉？​

基于当前计算对象的复杂度，你能预见并决策：下一步是应该代入展开，还是保持结构？

当一个式子复杂到你无法做出这个判断时，你已经失去了代数直觉。此后的计算是「撞大运」，不能保证方向。

笔者的直觉极限​

  • 整式：最多四项
  • 分式：分子/分母分别最多三项

超出这个复杂度的「超直觉计算」是撞大运。

:::info 历史渊源 溢出设变量这个技术，有一位发明者。她说过：「你要把握验证路径的主动权，怎么简单就验什么，怎么好算就算什么。」

——中国古代数学落后的原因之一，是始终没有发明等号，导致每个未知数都被求出显式。设而不求，是解析的灵魂。 :::

§3.1 溢出数 = 变量数 − 自由度​

一道几何题有固定的自由度（赋值后图就定了）。你设的变量数减去自由度，就是溢出数，也等于额外引入的约束数。

约束是好东西，多个约束多条路。每多一个中间变量，就多一个「快捷转化」的机会。

§3.2 各情况下怎样设变量​

§3.2.0 基本原则​

设出所有复杂度超过两条简单直线相交的单坐标（横/纵），并利用简单直线表示另一个。

§3.2.1 两条简单直线相交（唯一可写显式坐标的情形）​

BF:by−x=−b+f;CE:cy+x=−c+eBF: by - x = -b + f; \quad CE: cy + x = -c + e BF∩CE=A=[be−cfb+c,  −1+e+fb+c]BF \cap CE = A = \left[\frac{be-cf}{b+c},\; -1 + \frac{e+f}{b+c}\right]

这是写显式坐标（不溢出设变量）的复杂度极限。

:::warning 注意 此时反而不要再溢出设变量：若设横坐标 PP，纵坐标 QQ，看见 QQ 你想不起它等于 2P2P，容易漏掉等零的机会。 :::

§3.2.2 一条简单直线和一条复杂直线相交​

原则：设出一个单坐标，用简单直线表示另一个。

有简单直线就不要设出双坐标。例如设 O(−d,h)O(-d, h)，h=kdh = kd，则遇到 2mhd−1−2mk2mhd^{-1} - 2mk 很容易注意不到它等于零。

例：

直线 BO∩AC:E(e,  −b−1e),e=y(n−b)1+b−1n−2y\text{直线 } BO \cap AC: E(e,\; -b^{-1}e), \quad e = \frac{y(n-b)}{1 + b^{-1}n - 2y}

例：N=L:y=−t(x−2)∩L:Ax+By+C=0N = L: y = -t(x-2) \cap L: Ax + By + C = 0（A/B/CA/B/C 超直觉）
→ 溢出设出系数多项式 A/B/CA/B/C，设 yN=ny_N = n，有 N(2−t−1n,n)N(2 - t^{-1}n, n)，再慢慢找机会化简。

§3.2.3 直线和圆相交​

圆 x2+y2=dx+eyx^2 + y^2 = dx + ey，直线 y=kxy = kx，交点 P(p,kp)P(p, kp)：

p=d+ek1+k2p = \frac{d + ek}{1 + k^2}

设出 pp，用简单直线 y=kxy = kx 表示纵坐标。

§3.2.4 两个圆相交（三约束）​

圆1: x2+y2=d1x+e1y+f1x^2+y^2 = d_1x + e_1y + f_1，圆2: x2+y2=d2x+e2y+f2x^2+y^2 = d_2x + e_2y + f_2

根轴（圆2 − 圆1）：(d2−d1)x+(e2−e1)y+f2−f1=0(d_2-d_1)x + (e_2-e_1)y + f_2 - f_1 = 0

设交点 P(xi,yi)P(x_i, y_i)，则 (xi,yi)(x_i, y_i) 同时满足三个约束：圆1、圆2、根轴。

:::tip 重要 三约束要全部熟悉。根轴必须算出来，因为你知道什么系数凑出来等于零。实战中三种形式（圆1/圆2/根轴）可能在不同步骤中分别用到。 :::

如果根轴平行于坐标轴，可以设出 (xi,y)(x_i, y)（纵坐标固定），两个圆写成共轴圆系形式。

§3.2.5 两条复杂直线相交​

由克莱默法则，x=Dx/Dx = D_x/D，y=Dy/Dy = D_y/D，设出系数行列式 DD。

危险

如果分子行列式 Dx/DyD_x/D_y 不能化简，则需要重述图形，绝不可强算。

此时设出坐标也没有意义，因为直线是任意线性组合的，并不能保证结论中出现这两条直线的「头」，从而整体消去。

除非交点本身简洁，要勇敢地「观察一下」，用尺子找共线。

§3.2.6 非过原点的圆和直线相交​

偶尔需要把直线代入圆，得到单坐标约束：

(by+c)2+a2y2−ad(by+c)+aey+af=A2y2+A1y+A0=0(by+c)^2 + a^2y^2 - ad(by+c) + aey + af = A_2 y^2 + A_1 y + A_0 = 0

其中 A0,A1,A2A_0, A_1, A_2 均可目押。解析可以择正负：方程有两根，所求坐标的唯一性由「如图」保证。

§3.3 主动探索中间变量间的关系​

:::tip 关键技巧

  • 在答题纸右侧一一列明中间变量之间的关系，例如 ab=1,cd=1,f=ac,g=bdab=1, cd=1, f=ac, g=bd，则 fg=1fg=1；
  • 确保能注意到「中间变量模块可以化简」，不要错过。 :::

例：a+b=m+n=1a+b = m+n = 1，设 k=(a−m)/(n+b)k = (a-m)/(n+b)，k′=(a+m)/(b−n)k' = (a+m)/(b-n)，则 kk′=−1kk' = -1。注意不到这个是算不下去的。

§3.5 基础变量和中间变量代数地位平等​

化简是双向的。不要一厢情愿把一切还原成基础变量。

例：设 f=ax+by−n−1yf = ax + by - n^{-1}y，

  • 一方面，合适时机可以代入 ff；
  • 另一方面，遇到 2nax+2nby2nax + 2nby，要写成 2nf+2y2nf + 2y。

把图盖上，你根本不知道谁是基础变量。

§3.6 两个重要的特殊情况​

§3.6.1 对称算一半​

如果左侧几何量 tt 满足 f(t)=A2t2+A1t+A0=0f(t) = A_2t^2 + A_1t + A_0 = 0，其中 A0/A1/A2A_0/A_1/A_2 都关于 b/cb/c 对称，那么虽然 tt 解不出来，由对称性，另一侧几何量 ss 也必然满足这个 ff，即证。

操作：设出表达式所有的对称部分，暴露所有的不对称部分。只对不对称部分化简，以消除「对称破缺」为目的，而非以算出显式表达式为目的。

备注

对称式的复合还是对称的，哪怕带根号。这是解析唯一包容 x\sqrt{\phantom{x}} 的情形。

§3.6.2 套路三挤一​

当结论满足 f1/f2=g1/g2f_1/f_2 = g_1/g_2 的形式时：

  1. 设出四个量 f1,f2,g1,g2f_1, f_2, g_1, g_2，分别计算；
  2. 四个中，通常只有一个特别难（比如 g2g_2），另外三个算准；
  3. 则 g2=g1f2/f1g_2 = g_1 f_2 / f_1，挤出结论表达式；
  4. 用赋值不展开验证，或只需验证对应项系数。

:::info 考场提示 只要写出来的步骤都是对的，包含本质化简，阅卷对少量跳步（比如最后一两步）是相当宽容的。但如果某个中间量算错了，就不怪别人了。 :::

例题​

彩蛋：俄奥 2024​

题意：含自带垂直的图形，对称起见设四个坐标，相交弦满足圆幂关系。

溢出：设 F=AB⋅ACF = AB \cdot AC，G=BC⋅BDG = BC \cdot BD（单独的乘积），F⋅G=1F \cdot G = 1。

结论是一个四次比四次的分式系数，不溢出设变量，代数直觉完全失效。

本节内容来自 R.W.（王一楠）公益课第二讲 §3，整理自讲义与课堂录音。