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§3.7 直线和圆的关系

3.7.0 情形零：相切（四种情况）​

已知情况处理方法
已知圆心、已知切点验切线与半径垂直
未知圆心、已知切点切点生成点圆，共轴圆系验 λP=λQ\lambda_P = \lambda_Q
已知圆心、未知切点移轴到圆心，验原点到直线距离 = 半径
未知圆心、未知切点最后手段：联立判别式 Δ=0\Delta = 0

要点： 能用几何方法验相切，就不要联立判别式。

3.7.1 情形一：圆斜式​

通法： 移轴至直线和圆的一个交点 A 并联立。

公式卡片 圆 ABC:x2+y2−dx−ey=0,AP:y=kx\text{圆 } ABC: x^2 + y^2 - dx - ey = 0,\quad AP: y = kx xP=d+ek1+k2,yP=k(d+ek)1+k2x_P = \frac{d+ek}{1+k^2},\quad y_P = \frac{k(d+ek)}{1+k^2}

这是对韦达的上位替代。

后续操作：

  • 坐标是二次分式，要设成 (p,kp)(p, kp)
  • (a) 验证 p=f(k)=g(k)p = f(k) = g(k) 是恒等式
  • (b) 时刻留意 p(k2+1)=d+ekp(k^2+1) = d + ek 是整式，设而不求整体消去

代表例题：24 CMO P2、24 高联二 P2。

没有中点相关结论，不要使用韦达。

3.7.5 情形二：弦端点​

公式卡片 xP=kd+ek−1+k,yP=ke−dk−1+kx_P = \frac{kd+e}{k^{-1}+k},\quad y_P = \frac{ke-d}{k^{-1}+k}

3.7.6 情形三：截距式直线​

公式卡片 A2=1−en,A0=1−dm,−A1=dn+emA_2 = 1 - en,\quad A_0 = 1 - dm,\quad -A_1 = dn + em k1+k2=−A1A2,k1k2=A0A2k_1 + k_2 = -\frac{A_1}{A_2},\quad k_1 k_2 = \frac{A_0}{A_2}

3.7.7 情形四：反解 PQ​

公式卡片 记 k1+k2=αk_1 + k_2 = \alpha，k1k2=βk_1 k_2 = \beta，则 α=dn+em1−en,β=1−dm1−en\alpha = \frac{dn+em}{1-en},\quad \beta = \frac{1-dm}{1-en} 反解出 m/nm/n 即得 PQ。

3.7.8.A​

设圆 ABCD 为单位圆，A/B/C/D 坐标 (Xi,Yi)(X_i, Y_i)，i=1,2,3,4i=1,2,3,4。

3.7.8.B​

G(0,a)G(0, a)。

3.7.8.C​

公式卡片 EF:y=a−1EF: y = a^{-1}

因为 OG⊥EF=G1OG \perp EF = G_1，且 G1G_1 是 GG 关于圆 OO 反演的像。

3.7.8.D​

公式卡片 E(−e,a−1),F(f,a−1),ef=a−1(a−1−a)=g1(a)E(-e, a^{-1}),\quad F(f, a^{-1}),\quad ef = a^{-1}(a^{-1} - a) = g_1(a)

3.7.8.E​

设 AC/BD:y=kix+aAC/BD: y = k_i x + a，与单位圆联立：

公式卡片 M/N ⁣[−aki1+ki2, a1+ki2]M/N\!\left[-\frac{ak_i}{1+k_i^2},\ \frac{a}{1+k_i^2}\right] EFEF 中点 L ⁣[f−e2, a−1]L\!\left[\frac{f-e}{2},\ a^{-1}\right]

由牛顿线 LMNLMN 共线，行列式得到 f−e=g2(k1,k2)f - e = g_2(k_1, k_2)。

3.7.8.F​

e/fe/f 被 g1/g2g_1/g_2 约束，进而被 a/k1/k2a/k_1/k_2 决定。代表例题：23 北秋 P3。

3.7.8.G​

过 EE 点的直线 AB/CDAB/CD 与单位圆联立，由 Σxi\Sigma x_i 和 Πxi\Pi x_i 约束 k3/k4k_3/k_4。

3.7.8.H​

BC/ADBC/AD 过 FF 点，类似得到 k5/k6k_5/k_6 的约束。

使用关键：自由度要给两条对角线的斜率，不要给其他的线。

3.7.9.1 完四建系​

公式卡片 ⊙abcd=uc,R=ad∩bc,O(0,0),P(0,p),Q(q,1/p)\odot_{abcd} = uc,\quad R = ad \cap bc,\quad O(0,0),\quad P(0,p),\quad Q(q,1/p) R=H(O,p,q)=(r,1/p),r=1−1/p2qR = H(O,p,q) = (r, 1/p),\quad r = \frac{1 - 1/p^2}{q}

3.7.9.2 ad/bc​

acac 交 ucuc 于 UU，bdbd 交 ucuc 于 VV。由牛顿线 UVWUVW 共线，得到 u/vu/v 的一个约束。

3.7.9.3 ab/cd​

公式卡片 ab:y−bx−p=0ab: y - bx - p = 0 (y−bx−p)(y−dx−p)=λ1⋅ad⋅bc+λ2⋅uc(y-bx-p)(y-dx-p) = \lambda_1 \cdot ad \cdot bc + \lambda_2 \cdot uc

3.7.9.4 ad/bc 的刻画​

公式卡片 R=H(O,p,q)=(r,1/p),ad:y−ax−r+a/p=0R = H(O,p,q) = (r, 1/p),\quad ad: y - ax - r + a/p = 0

3.7.9.5 布洛卡结构中的垂心计算​

公式卡片 T=H(k,r,q)=(0,t),t=pk−1kp2−1T = H(k, r, q) = (0, t),\quad t = \frac{pk-1}{kp^2-1}