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§2.4 直线和直线的关系

A. 平行和垂直​

公式卡片 ℓ1∥ℓ2  ⟺  k1=k2;ℓ1⊥ℓ2  ⟺  k1k2=−1\ell_1 \parallel \ell_2 \iff k_1 = k_2 \quad;\quad \ell_1 \perp \ell_2 \iff k_1 k_2 = -1

这两条直线可以在图中完全没有格子关系——它们是悬浮的平行或垂直。

B. 三点共线 / 三线共点 / 三圆共轴​

公式卡片 三点共线：∣xiyi1∣=0,i=1,2,3\text{三点共线：} \begin{vmatrix} x_i & y_i & 1 \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3 三线共点：∣AiBiCi∣=0,i=1,2,3\text{三线共点：} \begin{vmatrix} A_i & B_i & C_i \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3 三圆共轴：∣DiEiFi∣=0,i=1,2,3\text{三圆共轴：} \begin{vmatrix} D_i & E_i & F_i \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3

在正确的坐标轴选择下，行列式里会有很多零，展开非常简洁。

C. 过原点直线系​

第三条直线通过前两条直线的交点。在第三条直线上找到另外一个点，移轴过去让它成为原点。那两条直线消常数项就行了——你得到的直接就是方向。

D. 直线乘直线 = 退化二次曲线​

两条直线方程相乘，得到退化的二次曲线方程。用第三条曲线截它，可以直接得到两个截点之间的关系（比如韦达）。

公式卡片 对称轴 Ax+By+C=0，被反射直线 ax+by+c=0，反射后：\text{对称轴 }Ax+By+C=0\text{，被反射直线 }ax+by+c=0\text{，反射后：} (A2+B2)(ax+by+c)=(2Aa+2Bb)(Ax+By+C)\text{}(A^2+B^2)(ax+by+c) = (2Aa+2Bb)(Ax+By+C)

大多数时候看见反射直接把对称轴当坐标轴就行，不一定需要用这个公式。

设三角形 A(0,0)，AB 方向斜率为 k₁，AC 方向斜率为 k₂，角平分线 AI 斜率为 t：

公式卡片 2t1−t2=k1+k21−k1k2\frac{2t}{1-t^2} = \frac{k_1 + k_2}{1 - k_1 k_2}

几何意义：tan(2×(AI与x轴的夹角)) = tan(∠BAC的方向)。

  • 公式对平移不变（斜率关系是平移不变量），顶点不在原点时仍可用
  • 内角平分线和外角平分线都满足——关于 t 的二次方程，两个根

公式卡片 如图择根是非常重要的性质。 很多几何关系在代数上说不清道不明，但在几何上一眼就能看出来。这个题你要是没如过图，你这题不是高端局。