彩蛋：23 年北秋 P3 综合例题

题目

四边形 $ABCD$ 内接于圆心为 $O$ 的圆 $\Omega$，设 $AB$ 与 $CD$ 交于 $E$，$AD$ 与 $BC$ 交于 $F$，$AC$ 与 $BD$ 交于 $G$。设 $AC$、$BD$ 的中垂线分别与 $EF$ 的中垂线交于 $H$、$I$，$\triangle HIO$ 的外接圆和 $\Omega$ 的公共弦分别与 $AC$、$BD$ 交于 $J$、$K$。已知 $EF$ 的中垂线与 $\Omega$ 相切，求证：$\triangle GJK$ 的外接圆与 $\Omega$ 相切。

解题思路

1. 布洛卡框架建系

$\Omega$ 是单位圆，$G(0, a)$。$EF: y = a^{-1}$，$ef = a^{-1}(a^{-1}-a)$。设 $AC/BD: y = k_i x + a$。

2. 求圆 $HIO$

含有原点和两个简单坐标的圆，用行列式展开，直接求出 $d, e$。

3. 求根轴

圆 $HIO$ 与 $\Omega$ 相减，得到公共弦所在直线。

4. 生成悬浮圆 $GJK$

用三对称方法（§3.5.D），三条边两两乘积配参数得到 $GJK$ 的圆方程。

5. 验相切

验证圆 $GJK$ 的圆心到根轴的距离等于 $1$。

这道题是 §3.7.8 完全四边形框架的完美代表作，综合运用了布洛卡建系、牛顿线约束、悬浮圆生成、根轴验相切等绝大多数工具。