§3.6 点和圆的关系

3.6.A 圆的头

公式卡片 $O(d, e),\quad \text{圆的头} = x^2 + y^2 - 2dx - 2ey = g(x_1, y_1)$

其中 $g(x_1, y_1)$ 是点 $(x_1, y_1)$ 对该圆的幂。

3.6.B 圆幂，根轴即等幂线

3.6.B-1 四点共圆：

公式卡片 $\begin{vmatrix} x_i^2+y_i^2 & x_i & y_i & 1 \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3,4$

3.6.B-2 过任意三点的外接圆：

公式卡片 $\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

按第一行展开，即可目押圆的一次项系数 $d, e$ 和常数项 $f$。

3.6.C 斜 BC 外心公式

公式卡片 $\triangle ABC$ 中，$A(0,0)$，$B(2p, 2b^{-1}p)$，$C(2q, -2c^{-1}q)$，则外心 $O = (Xf^{-1}, Yf^{-1})$ 满足 $X = (1+b^2)cp + (1+c^2)bq$ $Y = (1+b^2)c^2 p - (1+c^2)b^2 q$ $f = bc(b+c)$

代表例题：25 XMO G 题。