L1 解析几何的世界观§2 直线§2.4 直线和直线的关系本页总览§2.4 直线和直线的关系 A. 平行和垂直 公式卡片 ℓ1∥ℓ2 ⟺ k1=k2;ℓ1⊥ℓ2 ⟺ k1k2=−1\ell_1 \parallel \ell_2 \iff k_1 = k_2 \quad;\quad \ell_1 \perp \ell_2 \iff k_1 k_2 = -1ℓ1∥ℓ2⟺k1=k2;ℓ1⊥ℓ2⟺k1k2=−1 这两条直线可以在图中完全没有格子关系——它们是悬浮的平行或垂直。 B. 三点共线 / 三线共点 / 三圆共轴 公式卡片 三点共线：∣xiyi1∣=0,i=1,2,3\text{三点共线：} \begin{vmatrix} x_i & y_i & 1 \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3三点共线：xiyi1=0,i=1,2,3 三线共点：∣AiBiCi∣=0,i=1,2,3\text{三线共点：} \begin{vmatrix} A_i & B_i & C_i \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3三线共点：AiBiCi=0,i=1,2,3 三圆共轴：∣DiEiFi∣=0,i=1,2,3\text{三圆共轴：} \begin{vmatrix} D_i & E_i & F_i \end{vmatrix} = 0,\quad i=1,2,3三圆共轴：DiEiFi=0,i=1,2,3 在正确的坐标轴选择下，行列式里会有很多零，展开非常简洁。 C. 过原点直线系 第三条直线通过前两条直线的交点。在第三条直线上找到另外一个点，移轴过去让它成为原点。那两条直线消常数项就行了——你得到的直接就是方向。 D. 直线乘直线 = 退化二次曲线 两条直线方程相乘，得到退化的二次曲线方程。用第三条曲线截它，可以直接得到两个截点之间的关系（比如韦达）。