§2.3 点和直线的关系

A. 点到直线的垂足

$P(x_0, y_0)$ 到直线 $L: Ax+By+C=0$ 的垂足：

公式卡片 $x_1 = \frac{B^2 x_0 - ABy_0 - AC}{A^2+B^2}$ $y_1 = \frac{-ABx_0 + A^2 y_0 - BC}{A^2+B^2}$

原点版： $(A^2+B^2)(x_1, y_1) = C(-A, -B)$

B. 点到直线的对称点

公式卡片 $x_2 = x_0 - 2Al(P),\quad y_2 = y_0 - 2Bl(P)$

其中有向距离 $l(P) = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2+B^2}$

原点版： $(A^2+B^2)(x_1, y_1) = 2C(-A, -B)$

C. 点是直线的零点

两个已知点都满足这个方程，那这个方程就是过这两点的直线。

极线方程：点 $P(p, q)$ 对单位圆的极线：

公式卡片 $\ell_P: px + qy = 1$